como los atomos de la aritmética, los números primos siempre han ocupado un lugar especial en la recta numérica. Ahora, Jared Duker Lichtman, un estudiante graduado de 26 años de la Universidad de Oxford, ha resuelto una conocida conjetura, estableciendo otra faceta de lo que hace que los números primos sean especiales y, en cierto sentido, incluso óptimos. “Te da un contexto más amplio para ver de qué manera los números primos son únicos y de qué manera se relacionan con el universo más grande de conjuntos de números”, dijo.
La conjetura trata con conjuntos primitivos, secuencias en las que ningún número divide a otro. Dado que cada número primo solo se puede dividir por 1 y por sí mismo, el conjunto de todos los números primos es un ejemplo de un conjunto primitivo. También lo es el conjunto de todos los números que tienen exactamente dos o tres o 100 factores primos.
Los conjuntos primitivos fueron introducidos por el matemático Paul Erdős en la década de 1930. En ese momento, eran simplemente una herramienta que le facilitaba probar algo sobre cierta clase de números (llamados números perfectos) con raíces en la antigua Grecia. Pero rápidamente se convirtieron en objetos de interés por derecho propio, a los que Erdős volvería una y otra vez a lo largo de su carrera.
Eso es porque, aunque su definición es bastante sencilla, los conjuntos primitivos resultaron ser bestias realmente extrañas. Esa extrañeza podría capturarse simplemente preguntando qué tan grande puede llegar a ser un conjunto primitivo. Considere el conjunto de todos los enteros hasta 1,000. Todos los números del 501 al 1000, la mitad del conjunto, forman un conjunto primitivo, ya que ningún número es divisible por otro. De esta forma, los conjuntos primitivos podrían comprender una parte considerable de la recta numérica. Pero otros conjuntos primitivos, como la secuencia de todos los números primos, son increíblemente escasos. “Te dice que los conjuntos primitivos son realmente una clase muy amplia que es difícil de tener en tus manos directamente”, dijo Lichtman.
Para capturar propiedades interesantes de los conjuntos, los matemáticos estudian varias nociones de tamaño. Por ejemplo, en lugar de contar cuántos números hay en un conjunto, podrían hacer lo siguiente: Por cada número norte en el conjunto, reemplácelo en la expresión 1/(norte Iniciar sesión norte), luego sume todos los resultados. El tamaño del conjunto {2, 3, 55}, por ejemplo, se convierte en 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55).
Erdős descubrió que para cualquier conjunto primitivo, incluidos los infinitos, esa suma, la «suma de Erdős», siempre es finita. No importa cómo se vea un conjunto primitivo, su suma de Erdő siempre será menor o igual a algún número. Y aunque esa suma «parece, al menos a primera vista, completamente ajena y vaga», dijo Lichtman, de alguna manera «controla parte del caos de los conjuntos primitivos», lo que la convierte en la vara de medir adecuada.
Con este palo en la mano, la siguiente pregunta natural es cuál podría ser la suma de Erdő máxima posible. Erdős conjeturó que sería el de los números primos, que resulta alrededor de 1,64. A través de esta lente, los números primos constituyen una especie de extremo.
